Théorème du rang constant :
Soit \(U\) un ouvert de \({\Bbb R}^n\) et \(f:U\to{\Bbb R}^p\) de classe \(\mathcal C^1\)
Alors \(df(x)\) est de rang constant \(r\leqslant\min(n,p)\) si et seulement si \(\forall a\in U\), il existe :
\(V\in\mathcal V(a)\) ouvert, \(W\in\mathcal V(0)\) ouvert et \(\phi\) un \(\mathcal C^1\)-difféomorphisme de \(V\) sur \(W\) tel que \(\phi(a)=0\)
\(\tilde V\in\mathcal V(f(a))\) ouvert, \(\tilde W\in\mathcal V(0)\) ouvert et \(\psi\) un \(\mathcal C^1\)-difféomorphisme de \(\tilde V\) sur \(\tilde W\)
Ils sont tels que : $$\forall x\in W,\quad{{\psi\circ f\circ\phi^{-1}(x_1,\dots,x_n)}}={{(x_1,\dots,x_r,0,\dots,0)}}$$
Remarque :
Le théorème du rang constant est une généralisation du théorème d'inversion locale
(Théorème d'inversion locale)
Remarque :
Soient \(f\) et \(\phi,\psi\) donnés par le théorème du rang constant
Alors $${{D\psi(f\circ\phi^{-1}(x))Df(\phi^{-1}(x))D\phi^{-1}(x)}}={{\begin{pmatrix} I_r&0\\ 0&0\end{pmatrix}}}$$
